Arithmetische Schaltungen
Additionsschema
Erinnerung an das Additionsschema:
Im ersten Schritt, in der rechtesten Stelle, werden zwei Summandenbits
zu einem Summenbit und dem Übertrag verknüpft (weiß auf blau/grün),
in allen weiteren Schritten werden jeweils zwei Summandenbits
und ein Übertrag aus der vorigen Stelle zu einem Summenbit und dem
Übertrag in die nächste Stelle verknüpft (gelb/grün).
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| 1
| 0
| 1
| 0
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| 1
| 0
| 1
| 1
1
0
1
0
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| 0
| 1
| 0
| 1
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Addition einer Stelle
Um die rechte Stelle des Additionsschemas zu berechnen, verknüpfen
wir die beiden rechten Bits der Summanden (a, b) und erhalten die
binäre Summe (ü, s) zweistellig als Kombination von Übertrag und
Summenbit.
| a
| b
| ü
| s
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| 0
| 0
| 0
| 0
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| 0
| 1
| 0
| 1
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| 1
| 0
| 0
| 1
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| 1
| 1
| 1
| 0
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Mit wenig Übung ist zu erkennen, dass es sich um die AND- und die
XOR-Funktion handelt:
- ü = a · b
- s = a ⨁ b
Die gemeinsame Schaltfunktion nennt sich Halbaddierer.
Für die weiteren Stellen sind jeweils drei Bits zu addieren, um ein
zweistelliges Ergebnis zu erhalten:
| a
| b
| c
| ü
| s
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| 0
| 0
| 0
| 0
| 0
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| 0
| 0
| 1
| 0
| 1
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| 0
| 1
| 0
| 0
| 1
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| 0
| 1
| 1
| 1
| 0
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| 1
| 0
| 0
| 0
| 1
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| 1
| 0
| 1
| 1
| 0
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| 1
| 1
| 0
| 1
| 0
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| 1
| 1
| 1
| 1
| 1
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Diese Schaltfunktionen vereinfachen wir nach KV und erhalten:
- ü = a b + b c + a c
- und für die Summe lassen sich keine benachbarten 1-Felder im KV-Diagramm
finden, so dass wir auf den Mintermen sitzen bleiben:
- s = a b c + a b c + a b c + a b c
- (dieses liegt in der Natur der Funktion, da beim Addieren jede Änderung
eines einzelnen Eingangs das untere Bit des Ergebnisses verändert)
Die gemeinsame Schaltfunktion nennt sich Volladdierer.
n-stelliges Addierwerk
Addition zweier n-stelliger Summanden a und b durch Nachbilden
des Additionsschemas:
- Die niederwertigsten Stellen a0 und b0
werden mit einem Halbaddierer addiert zum Summenausgang s0 und
Übertragsausgang ü1.
- In den weiteren Stellen werden jeweils die beiden Summandbits
ai und bi sowie der Übertrag aus der vorigen Stelle
üi mit einem Volladdierer addiert zum Summenausgang si
und Übertragsausgang üi+1.
- Der vorderste Übertragsausgang ün gibt bei vorzeichenloser
Addition ggf. den Überlauf des Additionsergebnisses an.
Kombiniertes Addier-/Subtrahierwerk
Subtraktion durch Addition
Da negative Zahlen durch das Zweierkomplement dargestellt werden,
kann die Subtraktion durch Addition des Zweierkomplements erfolgen:
- a – b = a + (–b) = a + ZK(b) = a + EK(b) + 1
Im Wesentlichen wird dabei das Einerkomplement, d.h. in jeder Stelle
bi das invertierte Bit bi addiert.
Wir wollen nun durch ein Steuersignal SUB wählen, ob die Schaltung
jeweils addiert oder subtrahiert, SUB = 1 soll Subtrahieren heißen.
In jeder Stelle ist dann das Bit bi' zu addieren, wobei
|
bi' = |
{
| bi falls SUB = 0
|
| bi falls SUB = 1
|