Es werden zunächst grundlegende Begriffsbildungen und Prinzipien der Technischen Mechanik behandelt. In den Übungen wird MATHEMATICA genutzt zur Lösung von linearen Gleichungssystemen und gewöhnlichen Differentialgleichungen. Ferner wird das Computerprogramm MSC/NASTRAN for Windows benutzt, um einige Computerexperimente zur Mechanik zum Zweck der Veranschaulichung der Begriffsbildungen zu vorzuführen.
- Grundlegend ist ein Verständnis von Kräften und Momenten sowie der Gleichgewichtsbedingungen. Ein weiteres grundlegendes Konzept ist das Freischneiden von Strukturen, um die inneren Kräfte (Schnittkräfte) erfassen zu können (Schnittkraftprinzip). Damit werden Aussagen zur Festigkeit und Belastbarkeit der Strukturen möglich.
- Linear-elastische Materialgesetze werden in der zweiten Hälfte der Vorlesung TM (dann stehen die ersten Konzepte der Vorlesung Differentialgleichungen I zur Verfügung) für typische Beispiele in der Ebene betrachtet: Stab-, Balken-, Scheiben-Strukturen. Die mathematische Modellbildung erfolgt durch Differentialgleichungen mit Randbedingungen.
- Fortgeschrittene Konzepte der Technischen Mechanik wie der Arbeitssatz, virtuelle Verrückungen, Prinzip vom Minimum der potentiellen Energie beenden die Vorlesung TM und leiten über zur FEM I.
- Historisch ist die Technische Mechanik parallel zur Differential- und Integralrechnung entstanden. Insofern gibt es einen Bezug zur Geschichte der Mathematik.
- Literatur: Gross, Hauger, Schnell: Technische Mechanik Band 1 Statik und Band 2 Festigkeitslehre, Springer Lehrbuch (je DM 36,-); die Vorlesung orientiert sich sehr stark hieran, wobei eine geeignete Auswahl aus der Vielzahl der Beispiele getroffen wird.
- Vorkenntnisse:
- Lineare Algebra (lineare Gleichungssysteme)
- Analysis (Differentiation, Integration, Taylorreihe für eine und idealerweise für mehrere Variable)
- Interesse an technischen Fragestellungen (keine speziellen Physikkenntnisse)
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Die Vorlesung FEM I behandelt am Beispiel von Feder- und Stab-Systemen (1 gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung) in der Ebene die grundlegenden Konzepte. In etwa sechs Übungen wird dazu mit MATHEMATICA ein vollständiges System von Unterprogrammen entwickelt. Ferner wird das kommerzielle FEM-Programm MSC/NASTRAN for Windows erläutert und benutzt.
- Anhand der Matrix-Methode wird zunächst der prinzipielle Aufbau eines Computerprogramms zur FEM behandelt: Freiheitsgrade, Steifigkeitsmatrix, Superpositionsprinzip, Einbau der geometrischen Randbedingungen, Lastvektor.
- Die numerische Näherungsmethode der FEM wird im zweiten Teil aus der Differentialgleichung des Stabs hergeleitet: Integralform der Differentialgleichung, lineare und quadratische Ansatzfunktionen, Konvergenzordnung.
- Praktische Modellierungstechniken (Symmetrische Strukturen, 3-dimensionale Beispiele) und Erweiterung der FEM von Fragen der Statik auf Eigenschwingungsprobleme beenden dieVorlesung.
- Literatur: Betten: Finite Elemente für Ingenieure Band 1, Springer Verlag 1997 (DM 58,-); Teile dieses Buches dienen als Vorlesungsgrundlage.
- Vorkenntnisse:
- Handhabung von MATHEMATICA
- Programmierprinzipien
- Lineare Algebra (Matrizenrechnung, Eigenwerte)
- Analysis (gewöhnliche Differentialgleichungen)
- Numerik (grundlegende Ideen der Konvergenz)
- Technische Mechanik (Grundkonzepte der Statik, Festigkeit)
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Die Vorlesung FEM II behandelt am Beispiel von Scheiben-Systemen der Ebene das allgemeine Konzept der FEM. Es handelt sich um ein System von zwei gekoppelten partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnung in zwei Variablen. Auch hierfür wird in etwa sechs Übungen mit MATHEMATICA ein vollständiges System von Unterprogrammen entwickelt. Ferner wird das kommerzielle FEM-Programm MSC/NASTRAN for Windows benutzt.
- Integralform des Scheiben-Systems mit Hilfe des Gaußschen Intergralsatzes (zweidimensionale Form der partiellen Integration), lineare Ansatzfunktionen für Rechtecke,... Analytische Vergleichslösungen einer Rechteckscheibe unter allseitigem Zug, allseitigem Schub, Biegung und Schubbiegung gegenüber der FEM Näherungslösung.
- Quadratische Ansatzfunktionen, Konvergenzfragen: h- und p-Methode.
- Das Konzept der FEM (Integralform + lokal begrenzte Ansatzfunktionen) wird geübt an weiteren Differentialgleichungen: schubstarrer Balken (1 DGL 4. Ordnung in einer Variablen), schubweicher Balken (2 gekoppelte DGL 2. Ordnung in einer Variablen).
- Literatur: Knothe, Wessels: Finite Elemente, Springer Verlag, 3. Auflage 1999 (DM 98,-); Teile dieses Buches dienen als Vorlesungsgrundlage.
- Vorkenntnisse:
- FEM I
- Analysis (partielle Differentialgleichungen, mehrdimensionale Integrale, Randwertprobleme, eventuell Gaußscher Integralsatz)
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