Konstruktionen spezieller Kurvenpaare und deren Untersuchung mit Mathematica

Zusammenfassung der Diplomarbeit von Alexandra Moese
Sommersemester 2001

Radienkurve einer Astroide

Aus jeder regulären Kurve

kann man durch verschiedene allgemeine Konstruktionen neue erzeugen.
Diese Konstruktionen können als Funktionen angesehen werden, die mit den Ursprungsfunktionen Kurvenpaare bilden. Diese Kurvenpaare wollen wir näher untersuchen.

In dieser Arbeit stellen wir sieben verschiedene Konstruktionen vor und wenden diese auf die Kegelschnitte sowie einige Rollkurven an. Die dabei entstandenen Kurven sind in zwei Tabellen am Ende dieser Seite aufgelistet.

Im folgenden bezeichnen T, N den Einheitstangenten bzw. Normalenvektor der Kurve c,

die Krümmung und

den Krümmungsradius.

Parallelkurven

Parallelkurven sind Kurven, die einen festen Abstand k zu einer regulären Kurve c einhalten. Sie sind durch die Gleichung

definiert.
Für t₀ mit

ist die Parallelkurve nicht regulär.

Graph der sinusfunktion mit Parallelkurven

Fußpunktkurven

Die Menge der Fußpunkte Fp der Lote von einem festen Punkt P auf die Tangente an die Kurve c heißt Fußpunktkurve.

Die Fußpunktkurve einer regulären Kurve c in Bezug auf den festen Punkt P ist durch eine Gleichung der Form

gegeben.

Ist die Krümmung von c gleich Null oder liegt der feste Punkt P auf der Kurve, erhalten wir nichtreguläre Fußpunktkurven.

Evolute

Die Evolute ist der geometrische Ort der Mittelpunkte der Schmiegkreise an die reguläre Kurve c. Des weiteren ist die Evolute die Hüllkurve der Kurvenschar der Normalen an c. Aufgrund dieser Tatsache ist der Tangentenvektor von parallel zu dem Normalenvektor von c. Denselben Zusammenhang können wir für den Normalenvektor von und den Tangentenvektor von c aufstellen. Wir definieren die Evolute durch die Gleichung: Die Evolute der Kurve c ist dann nicht regulär, wenn die Krümmung von c konstant ist bzw. in den kritischen Punkten der Krümmung.

Involute

Die Involute stellt die ''Umkehrung'' der Evolute dar. Geometrisch läßt sich die Involute als Abwicklung eines um die reguläre Kurve c straff gespannten Fadens beschreiben.

Die Involte zur Konstanten k ist durch

gegeben.
Gilt

, so kann

als Länge des Fadens interpretiert werden. Für

sagt man, die Abwicklung beginnt in c(k) .

Zu jeder beliebigen Konstante k ergibt die Evolute der Involute von c wieder die Ursprungskurve c. Die Involute der Evolute von c liefert jedoch nur zur Konstanten

die Ursprungskurve c. Der Krümmungsradius der Involute spiegelt die Fadenlänge wieder und der Tangentenvektor von

ist parallel zum Normalenvektor von c und der Normalenvektor von

parallel zum Tangentenvektor von c. Die Involuten zu verschiedenen Konstanten k sind Parallelkurven.

Eine Involute ist in den Stellen nicht regulär, in denen

gilt. Des weiteren ist eine Involute für

nicht regulär, also in dem Punkt, in dem c die Involute

berührt.

Katakaustik zu parallelem Licht

Fällt paralleles Licht auf die Kurve c und wird an ihr reflektiert, so bildet die Hüllkurve der Reflexionen die Katakaustik zu parallelem Licht der regulären Kurve c.

Diese Katakaustik wird durch die Gleichung

mit

als Lichtrichtung der einfallenen Strahlen beschrieben.
Aufgrund ihrer Entstehung als Hüllkurve ist der Tangentenvektor der Katakaustik parallel zu dem Reflexionsvektor.

Graph der Sinusfunktion mit parallel einfallenden Lichtstrahlen und deren Reflexionen

Katakaustik zu punktförmigem Licht

Im Unterschied zu der Katakaustik zu parallelem Licht fällt bei dieser Konstruktion punktförmiges Licht auf die Kurve c und wird reflektiert.
Auch hier bildet die Hüllkurve der Reflexionen die Katakaustik, die durch die Gleichung

gegeben ist.

Graph der Sinusfunktion mit punktförmig einfallenden Lichtstrahlen und deren Reflexionen

Radienkurven

In dieser Konstruktion betrachten wir den durch

gebildeten Vektor, also den Radienvektor vom Mittelpunkt

des rollenden Kreises r zu dem betrachteten Punkt, der die Rollkurve beschreibt.

Die Hüllkurve der durch

beschriebenen Kurvenschar bezeichnen wir als Radienkurve. Diese ist jedoch stark von der jeweiligen Rollkurve abhängig, so daß keine allgemeine Gleichung aufgestellt werden kann.

Betrachtet man s als Scharparameter und nicht als Kurvenparameter, so erhält man wieder die allgemeine Gleichung einer Rollkurve.

Kegelschnitte

Parabel		Kreis		Ellipse		Hyperbel
P=(0,0)	Zissoide	P=(0,0)	Kreis	P=	Kreis	P=	Kreis
P=F	Gerade	P auf dem Rand des Kreises	Kardioide	P=	Kreis	P=	Kreis
Neilesche Parabel		Mittelpunkt des Kreises		verzerrte Astroide
		k=0	Schneckenkurve
=	Brennpunkt der Parabel	Nephroide
		P=(0,0)	Mittelpunkt des Kreises
		P auf dem Rand es Kreises	Kardioide
		P außerhalb des Kreises	verzerrte Nephroide

Rollkurven

Zykloide		Epizykloide mit m		Hypozykloide mit m
verschobene Zykloide		gedrehte Epizykloide zu mit m		gedrehte Hypozykloide zu mit m
Zykloide		Epizykloide		Hypozykloide
=	Zykloide zu mit 2m
		P=(0,0)	verzerrte Epizykloide mit 2m


Zykloide zu mit 2m		Epizykloide zu mit 2m		Hypozykloide zu mit 2m