vorderstes Bit = 1: diese Codeworte beschreiben eine negative Zahl,
z.B. 1000, 1010, 1111.
Die Codierung positiver Zahlen soll mit der Codierung im binären
Stellenwertsystem übereinstimmen.
Für den negativen Zahlenbereichs sind die folgenden beiden
Codierungen von Bedeutung.
1.4.1.
Einerkomplement-Codierung
Das Einerkomplement EK eines Codewortes bzw. einer Bitfolge
bn−1...b0
ist die Bitfolge
en−1...e0
, bei der jedes Bit invertiert (d.h. 0 und 1 gegeneinander vertauscht)
wurde, d.h.
ei = 1 − bi für alle i.
Z.B. EK (001010) = 110101
Die n-stellige Einerkomplement-Codierung ECn
(Einerkomplementdarstellung) bildet ab:
- +x > 0 → ECn (x) = BCn (x)
- −x < 0 → ECn (−x) =
EK (BCn (x))
- Z.B.: 4 → 0100 , −4 → 1011
Wertebereich:
Mit n Bits lassen sich 2n verschiedene Codeworte
darstellen, allerdings gibt es in der Einerkomplement-Codierung für die
Null lästigerweise zwei Darstellungen (alle Bits 0 und alle Bits 1),
daher sind 2n−1 Zahlen darstellbar, somit der Zahlenbereich
−2n−1+1 ... 2n−1−1.
Beim Addieren in der Einerkomplement-Darstellung wird zunächst das
übliche Additionsschema (stellenweise von rechts nach links) angewandt.
Falls aus der höchsten Stelle ein Übertrag entsteht, muss dieser jedoch
in einer Korrekturaddition and niedrigster Stelle hinzuaddiert
werden.
Beispiel: subtrahiere 0101 − 0011:
|
| 0
| 1
| 0
| 1
|
|
| 1
| 1
| 0
| 0
|
1
1
0
0
|
|
|
|
| 0
| 0
| 0
| 1
|
|
|
|
| +
| 1
|
|
|
|
| 0
| 0
| 1
| 0
| | | | |
1.4.2.
Zweierkomplement-Codierung
Das Zweierkomplement ZK eines Codewortes bzw. einer Bitfolge
bn−1...b0
wird gebildet, indem zum Einerkomplement noch 1 addiert wird.
Z.B. ZK (001010) = 110101 + 1 = 110110
| dez. | 2er-K.
|
|---|
| 7 | 0111
|
| 6 | 0110
|
| 5 | 0101
|
| 4 | 0100
|
| 3 | 0011
|
| 2 | 0010
|
| 1 | 0001
|
| 0 | 0000
|
| −1 | 1111
|
| −2 | 1110
|
| −3 | 1101
|
| −4 | 1100
|
| −5 | 1011
|
| −6 | 1010
|
| −7 | 1001
|
| −8 | 1000
|
- Die n-stellige Zweierkomplement-Codierung ZCn
(Zweierkomplementdarstellung) bildet ab:
- +x > 0 → BCn (x)
- −x < 0 → ZK (BCn (x))
- Z.B.: 4 → 0100 , −4 → 1011 + 1 = 1100
Nebenbemerkung: Die Korrekturaddition aus der Einerkomplement-Darstellung
ist hier gewissermaßen in die Codierung integriert.
Wertebereich:
Mit n Bits lassen sich 2n verschiedene Codeworte
darstellen, in der Zweierkomplement-Codierung gibt es für die
negativen Zahlen ein Codewort mehr – der Wertebereich ist
unsymmetrisch, es ist der Zahlenbereich
−2n−1 ... 2n−1−1.
Beim Addieren in der Zweierkomplement-Darstellung wird das
übliche Additionsschema (stellenweise von rechts nach links) angewandt.
Das Vorzeichenbit wird dabei einfach mit addiert.
Falls aus der höchsten Stelle ein Übertrag entsteht, wird dieser zunächst
ignoriert.
Die Kodierung einer negativen Zahl −k in n-stelliger
Zweierkomplementdarstellung kann auch als vorzeichenlose Darstellung
von 2n−k interpretiert werden. Daraus und unter
Betrachtung der Rechnungen modulo 2n (also unter
Ignorierung aller Vielfachen von 2n) lässt sich
mathematisch die Funktion des einfachen Additionsverfahrens
motivieren und nachweisen:
-
a + (2n − b) = (a − b) + 2n
= a − b (modulo 2n)
-
An der Codetabelle (abgebildet für n=4) lässt sich auch sehen,
dass gegenüber der Codetabelle für vorzeichenlose Zahlen sozusagen
die obere Hälfte ins Negative nach unten verschoben worden ist,
und zwar um 2n. Auch das erklärt intuitiv die
Funktion des Additionsschemas unter Ignorieren des
Übertrags-Bits.
Für die Erkennung eines Überlaufs bei der Addition in
Zweierkomplement-Darstellung gibt es zwei Kriterien:
- Vorzeichen-Vergleich der Summanden und des Ergebnisses: bei
der Addition zweier positiver Zahlen muss das Ergebnis positiv
sein bzw. entsprechend negativ; werden eine positive und eine
negative Zahl addiert, tritt nie ein Überlauf ein. Die Anwendung
dieses Kriteriums erfordert allerdings die Betrachtung der
Summanden, was für die automatische Verarbeitung unpraktisch ist.
- Ein Überlauf ist genau dann eingetreten, wenn die beiden Überträge
aus der letzten und vorletzten Stelle verschieden sind.
Beispiele: ...
1.5. Gleitkommazahlen
1.5.1.
Zur Darstellung besonders kleiner oder großer Zahlen gibt es die
Schreibweise Gleitkommadarstellung, bei der die Größenordnung
des Zahlenwerts durch einen Faktor ausgedrückt wird, der aus einer
Potenz zur Basis des Stellenwertsystems besteht.
Beispiele: 1,234 × 1025 oder −23,4 × 10−8
Die Darstellung setzt sich zusammen aus dem Vorzeichen (+ oder −),
der Mantisse (1,234) und dem Exponenten (25).
In der normierten Darstellung befindet sich vor dem Komma
genau eine Ziffer ungleich 0. Eine nicht-normiert dargestellte Zahl
lässt sich normieren, indem das Komma zur normierten Darstellung
verschoben wird und der Exponent entsprechend angepasst. Wird das
Komma um k Stellen nach rechts (links) verschoben, wird dadurch der
Wert der Mantisse um den Faktor 10k erhöht (vermindert),
so dass zum Ausgleich der Exponent um den Betrag k vermindert (erhöht)
werden muss, damit der dargestellte Zahlenwert gleich bleibt:
123,45 × 1025 = 1,2345 × 1027
0,012345 × 1025 = 1,2345 × 1023
1.5.2
Binäre Gleitkommadarstellung
In der binären Gleitkommadarstellung wird für den Exponenten
die Basis 2 benutzt. In der normierten Darstellung steht vor dem
Komma immer eine 1.
Beispiel: 1,01101 × 20101 (gemischte Notation, um
Verwirrung der Basis 10(2) mit der Basis 10(10)
zu vermeiden)
1.5.3
Seien y = vy × my × bey
und z = vz × mz × bez
zwei Zahlen in Gleitkommadarstellung, wobei jeweils v = 1 oder −1,
je nach dem, ob das Vorzeichen + oder − ist.
Multiplikation
Unter Berücksichtigung der Gesetze der Potenzrechnung ist
y × z = vy × vz
× my × mz
× bey + ez
Die Komponenten der Gleitkommadarstellung beider Zahlen können also
jeweils miteinander verknüpft werden und es resultiert passenderweise
wieder eine Zahl in Gleitkommadarstellung. Das Ergebnis kann allerdings
2 Stellen vor dem Komma haben, in welchem Fall es noch normiert werden
muss. Die Schritte sind wie folgt:
| 1. Vorzeichen kombinieren: vy × vz
|
| }
| gleichzeitig ausführbar!
|
|
| 2. Mantissen multiplizieren: my × mz
|
| 3. Exponenten addieren: ey + ez
|
| 4. Ergebnis normieren
|
Addition
Unter Berücksichtigung der Gesetze der Potenzrechnung ist
y + z = (vy × my + vz × mz)
× bey
nur wenn ey = ez
Andernfalls ist eine Denormierung eines der beiden Summanden
durchzuführen, um die Exponenten einander anzupassen, damit eine
Addition durchgeführt werden kann.
Ist z.B. ey > ez, so verschiebe
das Komma von z um ey − ez Stellen
nach links (bzw. die Stellen von mz um diese Stellenzahl
nach rechts bei feststehendem Komma); der Exponent wird dabei angeglichen
und die Addition kann nach obiger Gleichung ausgeführt werden.
Allgemein sind die Schritte wie folgt:
| 1. Denormieren
|
| 2. Mantissen unter Einbeziehung der Vorzeichen addieren bzw. subtrahieren
|
| 3. Ergebnis normieren
|
1.5.4
Standard-Gleitkommaformate
Nachdem früher jeder Computerhersteller ein eigenes Gleitkommaformat
definiert und in seiner Hardware realisiert hatte, wurden endlich von
der IEEE (Institute of Electric and Electronic Engineers) Standardformate
definiert, die sich mittlerweile durchgesetzt haben.
Der Exponent wird in Zweierkomplement-Kodierung dargestellt, von
der Mantisse, die ja in normierter Darstellung im Binären immer mit
"1," anfängt, wird nur der Nachkommateil, die sogenannte fraction,
ins Codewort aufgenommen.
| Name | Bits Vorzeichen | Bits Exponent | Bits Fraction
|
|---|
| IEEE 32-Bit | 1 | 8 | 23
|
| IEEE 64-Bit | 1 | 11 | 52
|
| TFH | 1 | 6 | 5
|
Das Format "TFH" dient der kurzen Notation von Beispielen; ein Codewort
im TFH-Format sieht z.B. so aus:
Die codierte Zahl ist +1,01101
× 2000101
= +1,01101
× 25 .
1.5.5
Ü
Multipliziere die Codeworte (TFH-Format)
000010101101 × 111110110110 .
